Les lois continues

Objectifs

Utiliser les préfixes [p,q,r,d] pour les lois continues

Pour une loi donnée, les fonctions R associées sont construites avec un préfixe et un suffixe (lié à la loi). Les préfixes sont les suivants :

"d" pour la fonction de densité de probabilité ;
"p" pour la fonction de répartition ;
"q" pour la fonction quantile ;
"r" pour la fonction de génération d'échantillon.

Le tableau ci-dessous donne, pour chaque loi classique, le nom de base à utiliser dans R ainsi que la liste des arguments associés.

Rôle	Suffixe dans R	Arguments	Exemples	Exercices
Normale	`norm`	..., `mean`, `sd`	ici	ici
Student	`t`	..., `df`	ici	ici
Fisher	`f`	..., `df1`, `df2`	ici	ici
Uniforme	`unif`	..., `min`, `max`	ici	ici
Khi-deux	`chisq`	..., `df`	ici	ici

Par exemple, les lois de Student sont implémentées dans R par un ensemble de fonctions dont le nom de base est t. Ainsi, pour ces lois :

La fonction de densité de probabilité est associée à dt(x, df) avec df, le degré de liberté de la loi (degree of freedom) ;
La fonction de répartition est associée à pt(q, df), où df représente toujours le degré de liberté ;
etc.

Exemple

Soit $X$ une variable aléatoire distribuée selon la loi Normale de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 5$ . $\mathbb{P}(X \leq 15)$ s'obtient par la commande :

    pnorm(q = 15, mean = 10, sd = 5)

## [1] 0.8413447

Exercice

Supposons que la variable aléatoire $X$ suit la loi Normale de moyenne $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma = 3$ . Déterminer :

$\mathbb{P}\left(X \geq 4 \right)$ .
la valeur $x$ telle que $P\left(X \geq x \right)=0,99$ .

Corrigé

$\mathbb{P}\left(X \geq 4 \right) = 1-\mathbb{P} (X \leq 4)$ .
```
    1 - pnorm(q = 4, mean = 2, sd = 3)
```
```
## [1] 0.2524925
```
la valeur $x$ telle que $P\left(X \geq x \right)=0,99$ .

$P\left(X \geq x \right)=0,99 \Leftrightarrow P\left(X \leq x \right)=0,01$ .
```
    qnorm(p = 0.01, mean = 2, sd = 3)
```
```
## [1] -4.979044
```

Exemple

Soit $T$ une variable aléatoire distribuée selon la loi de Student à $20$ degrés de liberté $\mathcal{T}\left( 20 \right)$ . $\mathbb{P}(T \leq 2)$ s'obtient par la commande :

    pt(q = 2, df = 20)

## [1] 0.9703672

où l'argument df correspond au nombre de degrés de liberté de la loi de Student.

Exercice

Supposons que la variable aléatoire $T$ suit la loi $\mathcal{T}\left( 10 \right)$ . Déterminer :

$\mathbb{P}\left(T \geq 2 \right)$ .
la valeur $t$ telle que $P\left(T \geq t \right)=0,95$ .

Corrigé

$\mathbb{P} (T \geq 2) = 1-\mathbb{P} (T \leq 2)$ .
```
    1 - pt(q = 2, df = 10)
```
```
## [1] 0.03669402
```
la valeur $t$ telle que $P\left(T \geq t \right)=0,95$ .

$P\left(T \geq t \right)=0,95 \Leftrightarrow P\left(T \leq t \right)=0,05$ .
```
    qt(p = 0.05, df = 10)
```
```
## [1] -1.812461
```

Exemple

Soit $F$ une variable aléatoire distribuée selon la loi de Fisher à $1$ et $10$ degrés de liberté $\mathcal{F} \left( 1; 10 \right)$ . $\mathbb{P}(F \leq 3)$ s'obtient par la commande :

    pf(q = 3, df1 = 1, df2 = 10)

## [1] 0.8860626

où les arguments df1 et df2 correspondent aux nombres de degrés de liberté de la loi de Fisher.

Exercice

La variable aléatoire $F$ suit la loi $\mathcal{F} \left( 2;10 \right)$ .
1. Déterminer $\mathbb{P}\left(F \geq 2 \right)$ .
2. Déterminer le réel $f$ tel que $\mathbb{P} (F \leq f) = 0,025$ .
La variable $G$ suit la loi $\mathcal{F}\left( 10 ;2 \right)$ .
1. Déterminer la valeur $x$ telle que $\mathbb{P} (G \leq x) = 0,975$ .
2. Calculer le produit $f \times x$ . Expliquer ce résultat.

Corrigé

La variable aléatoire $F$ suit la loi $\mathcal{F} \left( 2;10 \right)$ .
1. Déterminer $\mathbb{P}\left(F \geq 2 \right)$ .
```
    1 - pf(2, df1 = 2, df2 = 10)
```
```
## [1] 0.1859344
```
2. Déterminer le réel $f$ tel que $\mathbb{P} (F \leq f) = 0,025$ .
```
    f = qf(p = 0.025, df1 = 2, df2 = 10)
    f
```
```
## [1] 0.02538202
```
La variable $G$ suit la loi $\mathcal{F}\left( 10 ;2 \right)$ .
1. Déterminer la valeur $x$ telle que $\mathbb{P} (G \leq x) = 0,975$ .
```
    x = qf(p = 0.975, df1 = 10, df2 = 2)
    x
```
```
## [1] 39.39797
```
2. Calculer le produit $f \times x$ . Expliquer ce résultat.
```
    x*f
```
```
## [1] 1
```
  En effet, si $F$ suit la loi de Fisher $\mathcal{F}(k_1;k_2)$ alors $\frac{1}{F}$ suit la loi de Fisher $\mathcal{F}(k_2;k_1)$ . Ainsi : $\mathbb{P}(F \leq f ) = 0,025 \Longleftrightarrow \mathbb{P} \left(\frac{1}{F} \leq \frac{1}{f} \right) = 0,975$ . Ainsi : $x = \frac{1}{f}$ .

Exemple

Pour la loi uniforme sur $[a;b]$ , les bornes $a$ et de $b$ correspondent respectivement aux arguments min et max.

Soit $U$ une variable aléatoire distribuée selon la loi uniforme sur $[0;2]$ . $\mathbb{P}(U \leq 0,5)$ s'obtient par la commande :

    punif(q = 0.5, min = 0, max = 2)

## [1] 0.25

Exercice

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont supposées indépendantes de même loi uniforme sur $\left[ 0;1 \right]$ .

Construire deux échantillons aléatoires de $10~000$ valeurs issues de la loi uniforme sur $\left[ 0;1 \right]$ et en déduire une conjecture concernant la loi de $X+Y$ .

Aide

Corrigé

    x ‹- runif(n = 10000, min = 0, max = 1)
    y ‹- runif(n = 10000, min = 0, max = 1)
    densite ‹- density(x + y)
    hist(x + y, xlim = c(0, 2), freq = FALSE)
    lines(densite$x, densite$y, lwd = 2, col = "red")

Conjecture : la loi de $X+Y$ est une loi triangulaire de support $\left[ 0;2 \right]$ .

Exemple

Soit $X$ une variable aléatoire distribuée selon la loi du Khi-deux à 1 degré de liberté. $\mathbb{P}(X \leq 2)$ s'obtient par la commande.

    pchisq(q = 2, df = 1)

## [1] 0.8427008

où l'argument df correspond au nombre de degrés de liberté de la loi du Khi-deux.

Exercice

Représenter graphiquement les fonctions de densité des lois du Khi-deux à 1 et 7 degrés de liberté.

Corrigé

    x = seq(0, 15, 0.2)
    y = x/15
    y1 ‹- dchisq(x, 1)
    y7 ‹- dchisq(x, 7)
    plot(x, y, type = "n")
    lines(x, y1, col = "blue")
    lines(x, y7, col = "red")
    legend("topright", legend = c("courbe de la ddp d'une loi du Khi-deux à 1 ddl",
        "courbe de la ddp loi d'une loi du Khi-deux à 7 ddl"),
        col = c("blue","red"), pch = "-",
        bty = "n", cex = 0.9, inset = c(0.05, 0.05))

Pour rappel, topright positionne la légende en haut à droite, pch = "-" indique la nature du symbole permettant d'identifier chaque courbe, bty = "n" indique de ne pas encadrer la légende (fait par défaut). Enfin, cex = 0.9 affiche la légende avec un ratio de 90 % de la taille par défaut et inset permet de positionner la légende par rapport aux bords.